Parábola
Definición
Todos sabemos con aproximación como es una parábola
Si vemos esta imagen, todos podemos decir que se trata de una parábola, pero ¿como describimos lo que estamos viendo?
estamos viendo un conjunto de planos en el plano XY, cualquier conjunto de puntos que podamos identificar en un plano XY se le llama LUGAR GEOMÉTRICO.
Hemos definido un Lugar Geométrico como un conjunto de puntos. debemos tener en cuenta que un conjunto es una agrupación de elementos con por lo menos una característica en común.
Dado lo anterior, si aceptamos que la parábola es un lugar geométrico entonces es un conjunto de puntos y si es un conjunto, entonces debe de existir una característica que agrupe a los puntos, de modo tal que siempre podamos establecer si un punto (x,y) en particular pertenece, o no pertenece, al conjunto de puntos que forman la parábola.
Definiremos a la parábola como el Lugar geométrico formado por todos los puntos (x,y) tales que las distancias de este punto medidas a un punto fijo que llamaremos foco y a una recta fija que llamaremos Directriz miden lo mismo.
Expliquemos en la parábola que presentamos en la figura anterior lo que nos dice la definición agregándole algunos trazos y puntos.
1o.
Dado que sabemos que la parábola tiene la forma que tiene, deberemos de buscar un punto y una recta que puedan cumplir con la condición.
Para no hacer muy largo esta discusión fijare el punto y la recta de la siguiente manera:
He dibujado una recta roja a la que he llamado Directriz y un punto al que he llamado Foco, a continuación ubique un punto cualquiera que perteneciera a la párabola y he trazado una circunferencia de color amarillo.
Observemos que el foco es un punto que pertenece a la circunferencia y además esta es tangente a la línea roja a la que he llamado Directriz, además de observa que el angurlo que forma el radio de la circunferencia con la línea roja es de 90 grados, por lo que podemos asegurar que el radio es la distancia minima entre la recta y el punto arbitrario (x,y). Con este trazo se muestra que el punto (x,y) guarda la misma distancia con respecto a la Directriz y el foco.
Podemos repetir este trazo para cualquier punto que pertenezca a la circunferencia:
En la figura anterior he dibujado dos circunferencias más, una verde y otra rosa intenso, con centro en otros dos puntos arbitrarios elegidos de entre los que pertenecen a la parábola, en ambos casos se observa que se puede dibujar una circunferencia que contenga al foco y al mismo tiempo es tangente a la directriz.
Análisis de la Geometría de la parábola
Como primera observación debemos de advertir que la parábola es una figura con un eje de simetría que pasa por el foco como se muestra a continuación:
:
Además de pasar por el foco, el eje de la parábola hace un angulo recto con la directriz.
El eje se intercepta con la parábola en un punto, este punto se llama Vértice, como el vértice pertenece a la parábola, entonces cumple con la condición de pertenencia y tiene la misma distancia con respecto al foco y a la Directriz, esto se muestra en la última figura presentada, por tanto se puede trazar una circunferencia con centro en el vértice y tangente a la directriz. El radio de esta circunferencia lo llamaremos p de aquí en adelante.
por lo anterior si conocemos la posición de dos de las tres: Foco, vértice y Directriz, podremos conocer la posición de la tercera ya que es claro que el vértice se encuentra en el punto medio del segmento que une al foco con la directriz formando un angulo de 90 grados.
Discusión de la ecuación que representa el lugar Geométrico.
Para hacer este análisis de forma general, digamos que la posición del Vértice es el punto (h,k), y considerando que la parábola que estamos discutiendo, tiene su eje paralelo al eje y y abre hacia abajo entonces la posición del Foco será (h, k-p) y la posición y ecuación de la directriz es y=k+p.
mostremos esto en una figura:
Ahora ubicaré un punto cualquiera con coordenadas (x,y) restringido a que pertenezca a la parábola, y marcare sus distancias al foco y a la directriz.
he marcado la distancia del punto (x,y) al foco como d1 y la distancia del punto (x,y) a la directriz como d2, se observa que ambos son el radio de la misma circunferencia, por tanto deben de ser iguales.
calculo de la distancia del punto (x,y) al foco
sabemos que la distancia entre dos puntos se obtiene con la ecuación:
en este caso sabemos que un punto que es un punto cualquiera que pertenece a la parábola tiene coordenadas (x,y) y el otro punto que es el foco tiene coordenadad (h,k-p) por lo que podemos sustituir en esta ecuación y obtenemos lo siguiente:
calculo de la distancia del punto (x,y) a la directriz
La Directriz es la recta que tiene por ecuación y=k+p.
Si escribo la ecuación anterior en forma general queda y-k-p=0, la cual corresponde a la forma general de la ecuación de primer grado que es Ax+By+C=0.
En la ecuación de la recta directriz se tiene que A=0, B=1 y C=-k-p, no olvidemos que en una parábola particular k y p son constantes conocidas.
La distancia de un unto a una recta se obtiene con la ecuación:
ya he definido los valores de A,B y C para este caso,
si sustituyo los valores conocidos en la ecuación de distancia entre un punto y una recta, entonces esto queda:
planteamiento de la ecuación ordinaria
He calculado de la manera más general posible la distancia que existe entre un punto cualquiera de una parábola con eje paralelo al eje Y y que abre hacia abajo con respecto a su foco y con respecto a su directriz.
Queda claro que estas dos distancias deben ser iguales puesto que se trata del radio de una misma circunferencia, por tanto es valido concluir que en una parábola que abre hacia abajo y con eje de simetría paralelo al eje y ocurre que:
siendo que (x,y) es un punto cualquiera que pertenece a la parábola.
(h,k) es la coordenada del vértice de la parábola.
p es la distancia que hay del vértice al foco y del vértice a la directriz.
Es claro que la ecuación planteada tiene bastantes puntos que la hacen complicada en su manejo, por lo que procederé a simplificar la presentación de la misma de la siguiente manera:
tenemos dos trinomios al cuadrado, el primero se desarrolla de la siguiente manera:
por analogía tenemos que el segundo es:
entonces puedo continuar con el desarrollo de la siguiente manera:
el ultimo renglón del desarrollo corresponde a la ecuación ordinaria de una parábola con eje paralelo al eje y y que abre hacia abajo, el cual es el caso que ocupa todo este análisis.
